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当前位置:古典文学网 > 魏晋南北朝文学 > 五经算术

卷下

礼记》月令黄锺律管法:

黄锺术曰:置一算,以三九遍因之为法。置一算,以三因之得三,又三因之得九,又三因之得二十七,又三因之得八十一,又三因之得二百四十三,又三因之得七百二十九,又三因之得二千一百八十七,又三因之得六千五百六十一,又三因之得一万九千六百八十三为法。即是黄锺一寸之积分。重张其位于上,以三再因之,为黄锺之实。以法除之,得黄锺,十一月,管长九寸。

置黄锺一寸积分一万九千六百八十三。以三因之得五万九千四十九。又置五万九千四十九。以三因之得十七万七千一百四十七,为黄锺实。以寸法一万九千六百八十三除实,得黄锺之管长九寸。

黄锺下生林锺,六月,管长六寸。置黄锺管长九寸。以二乘之得十八,以三除之得林锺管长六寸。

林锺上生太蔟,正月,管长八寸。置林锺管长六寸。以四乘之,得二十四。以三除之,得太蔟管长八寸。

太蔟下生南吕,八月,管长五寸三分寸之一。置太蔟之管八寸。以二乘之得十六;以三除之,得南吕之管长五寸三分寸之一。

南吕上生姑洗,三月,管长七寸九分寸之一。置南吕管长五寸。以分母三乘之,内子一得十六。以四乘之,得六十四。以三乘法三得九为法以除之,得姑洗之管长七寸九分寸之一。

姑洗下生应锺,十月,管长四寸二十七分寸之二十。置姑洗管长七寸。以分母九乘之,内子一得六十四。以二乘之得一百二十八。以分母九乘法三得二十七为法以除之,得应锺之管长四寸二十七分寸之二十。

应锺上生蕤宾,五月,管长六寸八十一分寸之二十六。置应锺管长四寸。以分母二十七乘之,内子二十得一百二十八。以四乘之,得五百一十二。以分母二十七乘法三得八十一为法。除之得蕤宾管长六寸八十一分寸之二十六。

蕤宾上生大吕,十二月,管长八寸二百四十三分寸之一百四。置蕤宾管长六寸。以分母八十一乘之,内子二十六得五百一十二。以四乘之得二千四十八为实。以分母八十一乘法三得二百四十三为法。除之得大吕之管长八寸二百四十三分寸之一百四。

大吕下生夷则,七月,管长五寸七百二十九分寸之四百五十一。置大吕管长八寸。以分母二百四十三乘之,内子一百四得二千四十八。以二乘之,得四千九十六为实。以分母二百四十三乘法三得七百二十九为法。除之得夷则管长五寸七百二十九分寸之四百五十一。

夷则上生夹锺,二月,管长七寸二千一百八十七分寸之一千七十五。置夷则管长五寸。以分母七百二十九乘之,内子四百五十一得四千九十六。以四乘之得一万六千三百八十四为实。以分母七百二十九乘法三得二千一百八十七为法。除之得夹锺管长七寸二千一百八十七分寸之一千七十五。

夹锺下生无射,九月,管长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四。置夹锺管长七寸。以分母二千一百八十七乘之,内子一千七十五得一万六千三百八十四。以二乘之,得三万二千七百六十八为实。以分母二千一百八十七乘法三得六千五百六十一为法。除之得无射管长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四。

无射上生中吕,四月,管长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四。置无射管长四寸。以分母六千五百六十一乘之,内子六千五百二十四得三万二千七百六十八。以四乘之得十三万一千七十二为实。以分母六千五百六十一乘法三得一万九千六百八十三为法。除之得中吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四。

礼记》礼运注始于黄锺终于南吕法:

「五行之动迭相竭。五行、四时、十二月还相为本。五声、六律、十二管还相为宫。五味六和、十二食还相为滑。五色、六章、十二衣还相为质。」注云:「竭犹负载也。言五行运转,更相为始。五声宫、商、角、征、羽。其管阳曰律;阴曰吕。布在十二辰,始于黄锺九寸。下生者三分去一;上生者三分益一,终于南吕。更相为宫,凡六十律。」

甄鸾按:五声、六律、十二管还相为宫,终于南吕:

黄锺为宫,林锺为征,太蔟为商,南吕为羽,姑洗为角;

林锺为宫,太蔟为征,南吕为商,姑洗为羽,应锺为角;

太蔟为宫,南吕为征,姑洗为商,应锺为羽,蕤宾为角;

南吕为宫,姑洗为征,应锺为商,蕤宾为羽,大吕为角;

姑洗为宫,应锺为征,蕤宾为商,大吕为羽,夷则为角;

应锺为宫,蕤宾为征,大吕为商,夷则为羽,夹锺为角;

蕤宾为宫,大吕为征,夷则为商,夹锺为羽,无射为角;

大吕为宫,夷则为征,夹锺为商,无射为羽,中吕为角;

夷则为宫,夹锺为征,无射为商,中吕为羽,黄锺为角;

夹锺为宫,无射为征,中吕为商,黄锺为羽,林锺为角;

无射为宫,中吕为征,黄锺为商,林锺为羽,太蔟为角;

中吕为宫,黄锺为征,林锺为商,太蔟为羽,南吕为角;

甄鸾按:《礼记》注一本乃有云:「始于黄锺,终于南事」者,更显之于后。

礼运一本注「始于黄锺,终于南事」法:

甄鸾按:司马彪律历志:

黄锺下生林锺,林锺上生太蔟,太蔟下生南吕,南吕上生姑洗,姑洗下生应锺,应锺上生蕤宾,蕤宾上生大吕,大吕下生夷则,夷则上生夹锺,夹锺下生无射,无射上生中吕,中吕上生执始,执始下生去灭,去灭上生时息,时息下生结躬,结躬上生变虞,变虞下生迟内,迟内上生盛变,盛变上生分否,分否下生解形,解形上生开时,开时下生闭掩,闭掩上生南中,南中上生丙盛,丙盛下生安度,安度上生屈齐,屈齐下生归期,归期上生路时,路时下生未育,未育上生离宫,离宫上生凌阴,离宫下生去南,去南上生族嘉,族嘉下生邻齐,邻齐上生内负,内负上生分动,分动下生归嘉,归嘉上生随期,随期下生未卯,未卯上生形始,形始下生迟时,迟时上生制时,制时上生少出,少出下生分积,分积上生争南,争南下生期保,期保上生物应,物应上生质末,质末下生否与,否与上生形晋,形晋下生夷汗,夷汗上生依行,依行上生色育,色育下生谦待,谦待上生未知,未知下生白吕,白吕上生南授,南授下生分乌,分乌上生南事,南事不生。

甄鸾按:司马彪志序云:「汉兴,北平侯张苍首治律历。孝武正乐,置协律之官。至元始中,博征通知锺律者,考其意义。刘歆典领条奏。前史班固取以为志。而元帝时,郎中京房之五声之音,六律之数。上使太子太傅元成、谏议大夫章杂试问房于乐府。房对:受学故小黄令焦延寿。六十律相生之法:以上生下皆三生二;以下生上皆三生四。阳下生阴;阴上生阳。始于黄锺;终于中吕,而十二律毕矣。夫十二律之变至于六十,犹八卦之变至于六十四也。宓羲作易,纪阳气之初,以为律法建日冬至之声。以黄锺为宫,太蔟为商,姑洗为角,林锺为征,南吕为羽,应锺为变宫,蕤宾为变征。此声气之元,五音之正也。故各统一月,其余以次运行。当月者各自为宫,而商征以类从焉。礼运篇曰:「五声、六律、十二管还相为宫。」此之谓也。以六十律分期之日:黄锺自冬至始,及冬至而复。阴阳寒燠,风雨之占生焉。所以检摄群音,考其高下;茍非革木之声,则无不有所合。」

「竹声不可以度调,故作准以定数。准之状如瑟,长丈而十三弦;隐间九尺,以应黄锺之律九寸。中央一弦下有画分寸,以为六十律清浊之节。」

「律术曰:阳以圆为形,其性动。阴以方为节,其性静。动者数三;静者数二。以阳生阴倍之,以阴生阳四之;皆三而一。阳生阴曰下生;阴生阳曰上生。上生不得过黄锺之浊;下生不得不及黄锺之清。皆参天两地、圆益方覆、六耦承奇之道也。黄锺律吕之首,而生十二律者也。其相生也,三分而损益之。是故十二律之得十七万七千一百四十七。是为黄锺之实。」

如前置一算,以三九遍因之,得一万九千六百八十三,为黄锺一寸之积分;即为一寸之法。即以三再因之,得一十七万七千一百四十七,为黄锺之实。以寸法除之,得黄锺之管长九寸。又以二乘而三约之,是谓下生林锺之实。置黄锺之实十七万七千一百四十七。以二因之得三十五万四千二百九十四。以三除之,得一十一万八千九十八。为林锺之实。以寸法一万九千六百八十三除之,得林锺之管长六寸。又以四乘而三约之,是谓上生太蔟之实。置林锺之实十一万八千九十八。以四因之,得四十七万二千三百九十二;以三除之得十五万七千四百六十四,为太蔟之实。以寸法一万九千六百八十三除之,得太蔟之管长八寸。自余诸管上下相生,皆仿此。

「推此上下以定六十律之实。以九三之数万九千六百八十三为法。实如法于律为寸,于准为尺;于律为分,于准为寸。不盈者十之,所得为分;又不盈十之,所得为小分。以其余正其强弱。」

子,黄锺实十七万七千一百四十七,律九寸。下生林锺。色育实十七万六千七百七十六,律八寸九分(小分八,微强),下生谦待;执始实十七万四千七百六十二,律八寸八分(小分七,太强),下生去灭;丙盛实十七万二千四百一十,律八寸七分(小分六,微弱),下生安度;分动实十七万八十九,律八寸六分(小分四,微强),下生归嘉;质末实十六万七千八百,律八寸五分(小分二,半强),下生否与。

丑,大吕实十六万五千八百八十八,律八寸四分(小分三,弱),下生夷则;分否实十六万三千六百五十四,律八寸三分(小分一,少强),下生解形;凌阴实十六万一千四百五十二,律八寸二分(小分一,弱),下生去南;少出实十五万九千二百八十,律八寸(小分九,强),下生分积。

寅,太蔟实十五万七千四百六十四,律八寸,下生南吕;未知实十五万七千一百三十四,律七寸九分(小分八,强),下生白吕;时息实十五万五千三百四十四,律七寸八分(小分九,强),下生结躬;屈齐实十五万三千二百五十四,律七寸七分(小分八,半强),下生归期;随期实十五万一千一百九十一,律七寸六分(小分八,微强),下生未卯;形晋实十四万九千一百五十六,律七寸五分(小分八,弱),下生夷汗。

卯,夹锺实十四万七千四百五十六,律七寸四分(小分九,微强),下生无射;开时实十四万五千四百七十一,律七寸三分(小分九,微强),下生闭掩;族嘉实十四万三千五百一十三,律七寸二分(小分九,微强),下生邻齐;争南实十四万一千五百八十二,律七寸一分(小分九,强),下生期保。

辰,姑洗实十三万九千九百六十八,律七寸一分(小分一,微强),下生应钟;南授实十三万九千六百七十六,律七寸(小分九,半强),下生分乌;变虞实十三万八千八十四,律七寸(小分一,半强),下生迟内;路时实十三万六千二百二十五,律六寸九分(小分二,微强),下生未育;形始实十三万四千三百九十二,律六寸八分(小分三,弱),上生迟时;依行实十三万二千五百八十三,律六寸七分(小分三,半强),上生色育。

巳,中吕实十三万一千七十二,律六寸六分(小分六,微弱),上生执始;南中实十二万九千三百八,律六寸五分(小分七,微弱),上生丙盛;内负实十二万七千五百六十七,律六寸四分(小分八,微强),上生分动;物应实十二万五千八百五十,律六寸三分(小分九,少强),上生大吕。

午,宾实十二万四千四百一十六,律六寸三分(小分二,微强),上生大吕;南事实十二万四千一百五十六,律六寸三分(小分一,弱),不生;盛变实十二万二千七百四十一,律六寸二分(小分三,半强),上生分否;离宫实十二万一千八十九,律六寸一分(小分五,微强),上生凌阴;制时实十一万九千四百六十,律六寸(小分七,微弱),上生少出。

未,林锺实十一万八千九十八,律六寸,上生太蔟;谦待实十一万七千八百五十一,律五寸九分(小分九,弱),上生未知;去灭实十一万六千五百八,律五寸九分(小分二,微弱),上生时息;安度实十一万四千九百四十,律五寸八分(小分四,微弱),上生屈齐;归嘉实十一万三千三百九十三,律五寸七分(小分六,微强),上生随期;否与实十一万一千八百六十七,律五寸六分(小分八,少强),上生形晋。

申,夷则实十一万五百九十二,律五寸六分(小分二,弱),上生夹钟;解形实十万九千一百三,律五寸五分(小分四,强),上生开时;去南实十万七千六百三十五,律五寸四分(小分六,太强),上生族嘉;分积实十万六千一百八十六,律五寸三分(小分九,少强),上生争南。

酉,南吕实十万四千九百七十六,律五寸三分(小分三,强),上生姑洗;白吕实十万四千七百五十七,律五寸三分(小分二,强),上生南授;结躬实十万三千五百六十三,律五寸二分(小分六,微强),上生变虞;归期实十万二千一百六十九,律五寸一分(小分九,微强),上生路时;未卯实十万七百九十四,律五寸一分(小分二,微强),上生形始;夷汗实九万九千四百三十七,律五寸(小分五,微强),上生依行。

戍,无射实九万八千三百四,律四寸九分(小分九,少强),上生中吕;闭掩实九万六千九百八十一,律四寸九分(小分三,弱),上生南中;邻齐实九万五千六百七十五,律四寸八分(小分六,微强),上生内负;期保实九万四千三百八十八,律四寸七分(小分九,半强),上生物应。

亥,应锺实九万三千三百一十二,律四寸七分(小分四,微强),上生蕤宾;分乌实九万三千一百一十七,律四寸七分(小分三,微强),上生南事;迟内实九万二千五十六,律四寸六分(小分八,弱),上生盛变;未育实九万八百一十七,律四寸六分(小分一,少强),上生离宫;迟时实八万九千五百九十五,律四寸五分(小分五,强),上生制时。

甄鸾按:刚柔殊节,清浊异伦。五音六律,理无相夺。隔八相生,又如合契。

按志序云:「上生不得过黄锺之浊;下生不得不及黄锺之清。」是则上生不得过九寸;下生不得减四寸五分。且依行者,辰上之管也,长六寸七分。上生色育。然则色育者,亥上之管也,长四寸四分,减黄锺之清。其名仍就下生之名;其算变取上生之实。乃越亥就子,编于黄钟之下,律长八寸九分。非直名与实乖,抑亦违例隔凡。志又云:「始于黄锺,终于南事。」

注云:「不生」;且南事,午上管也。计南事之律,次得上生八寸四分之管。便是上生不过黄锺之浊。乃注云:「不生」,此乃苟欲充六十之数。其于义理,未之前闻。

礼记》投壶法:

「壶颈修七寸,腹修五寸,口径二寸半,容斗五升。」注云:「修,长也。腹容斗五升,三分益一,则为二斗。得圆囷之象,积三百二十四寸。以腹修五寸约之,所得求其圆周。圆周二尺七寸有奇,是为腹径九寸有余。」

甄鸾按:斛法一尺六寸二分,上十之得一千六百二十寸为一斛。积寸下退一等,得一百六十二寸为一斗。积寸倍之,得三百二十四寸为二斗。积寸以腹修五寸约之,得六十四寸八分。乃以十二乘之,得七百七十七寸六分。又以开方除之,得圆周二十七寸;余四十八寸六分。倍二十七寸,得方法五十四。下法一从方法,得五十五。以三除二十七寸得九寸。又以三除不尽四十八寸六分,得十六寸二分。与法俱上十之,是为壶腹径九寸五百五十分寸之一百六十二。母与子亦可俱半之,为二百七十五分寸之八十一。

春秋鲁僖公五年正月辛亥朔法:

经云:「僖公五年春王正月辛亥朔日南至。」南至,冬至也。冬至之日,南极至。故谓之日南至也。日中之时景最长。以景度之,知其南至。周官以土圭度日景,以求地中。夏至之日景尺有五寸。冬至之日,立八尺之木以为表。度而知之。「公既视朔,遂登观台以望云气而书,礼也。凡分、至启闭,必书云物,为备故也。」

推积日法:

置积月一万一千九百八十五。以周天分二万七千七百五十九乘之,得三亿三千二百六十九万一千六百一十五,为朔积分。以日法九百四十除之,得三十五万三千九百二十七为积日。不尽二百三十五为小余。以六十除积日,得五千八百九十八,弃之。取不尽四十七为大余。命以甲子算外,即正月辛亥朔。

求次月朔法:

置正月朔大、小余,加朔大余二十九、小余四百九十九。若小余满日法九百四十,除之;从大余一。满六十除之。命以甲子算外,即次月朔。如是一加得一月朔。若小余满四百四十一以上,其月大,减者小也。

推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法:

经云:「僖公五年春王正月辛亥朔日南至。」

求次气法:

加大余十五,小分二十一。小分满气法二十四,从小余一。小余满四,从大余一。大余满六十,去之。命以甲子算外,次气日。如是一加得一气。

推文公元年岁在乙未,闰在十月下,而失在三月法:

经云:「文公元年于是闰三月,非礼也。先王之正时也,屡端于始、举正于中、归余于终。屡端于始,序则不愆;举正于中,则民不惑;归余于终,则事不悖。」

推闰余十三在何月法:

置章岁十九,以闰余十三减之,不尽六。以岁中十二乘之,得七十二。以章闰七除之得十。命从正月起算外,闰十月下而尽。闰三月者,非也。

推文公六年,岁在庚子,是岁无闰而置闰法:

经云:「文公六年,闰月不告朔,犹朝于庙。」传曰:「闰月不告朔,非礼也。闰以正时,时以作事。民生之道于是乎在矣。不告闰朔,弃时正也,何以为民?」

推襄公二十七年,岁在乙卯,再失闰法:

襄公二十七年,岁在乙卯,九月乙亥朔,是建申之月也。鲁史书:「十二月乙亥朔,日有食之。」传曰:「冬十一月乙亥朔,日有食之。于是辰在申,司历过也。再失闰矣。」言时实以为十一月也。不察其建,不考之于天也。

推绛县老人生经四百四十五甲子法:

襄公三十年,岁在戌午,二月癸未。注:「二月一日,丁卯朔。癸未十七日也。」「晋悼夫人食舆人之城杞者。绛县人长矣,无子而往与于食。有与疑年,使之年曰:「臣小人也,不知纪年。臣之岁,正月甲子朔,四百有四十五甲子矣。其季于今三之一也。吏走问诸朝。师旷曰:「鲁叔仲惠伯会却成子于城匡之岁也,七十三年矣。」史赵曰:「亥有二首六身。下二如身,是其日数也。」士文伯曰:「然则二万六千六百有六旬也。」」

甄鸾按:「四百四十五甲子矣。其季于今三之一」者,计四百四十五甲子矣,有二万六千七百日。其季三之一者,谓不满四百有四十五甲子。于未满一甲子六十日之中,三分取一。谓去四十日,止留二十日也。是以注云:「三分六甲之一得甲子、甲戌尽癸未。谓止有四百有四十四甲子,奇二十日,合二万六千六百六十日。以应史赵「亥有二首六身」之数也。

术曰:置积日二万六千六百六十日。以四乘之,得十万六千六百四十日为实。又置周天三百六十五日四分日之一。以四乘之,内子一,得一千四百六十一为一岁之日法以除实,得七十二岁。一千四百四十八,少十三分不满法。计四分为一日,更少三日,不终季年。算法,半法以上收成一,为七十三年。据多而言也。

推文公十一年,岁在乙巳。夏正月甲子朔。绛县老人生月法:

襄公三十年,绛县人曰:「臣小人,不知纪年。臣生之岁,正月甲子朔,四百四十五甲子矣。其季于今三之一也。」

推积日法:

置积月一万二千四百六十七。以周天分二万七千七百五十九乘之,得三亿四千六百七万一千四百五十三为朔积分。以日法九百四十除之,得三十六万八千一百六十一为积日;不尽一百一十三为小余。以六十除积日,不尽为大余。命以甲子算外,乙丑。推次月朔法,如前僖公五年中术。

推积日法:

置积月一万三千六百一十七。以周天分二万七千七百五十九乘之,得三亿七千七百九十九万四千三百三为朔积分。以日法九百四十除之,得四十万二千一百二十一为积日。不尽五百六十三为小余。以六十除积日得六千七百二,弃之。不尽一为大余。命以甲子算外,正月乙丑朔。

推算鲁昭公十九年,闰在十二月之后,就以闰月为正月,而以正月为二月的算法:

推昭公十九年,岁在戊寅,闰在十二月下法:

推昭公十九年,岁在戊寅月朔法:

推昭公二十年,岁在己卯月朔法:

正月大,己丑朔。大余二十五,小余四百七十。二月小,己未朔。大余

五十五,小余二十九。三月大,戊子朔。大余二十四,小余五百二十八。

推昭公二十年,岁在己卯,正月己丑朔,旦冬至;而失云二月己丑冬至法:

甄鸾按:周历昭公十九年,岁在戊寅。其年闰十二月。其月大,己未朔。二十年,岁在己卯。正月大,己丑朔。即以己丑朔,旦为冬至。而昭公十九年,不置闰,乃以闰十二月为正月。故以为二月也。

推哀公十二年,岁在戊午。应置闰而不置,故书十二月有螽法:

经云:「哀公十二年,冬十有二月螽」。季孙问诸仲尼。仲尼曰:「丘闻之,火伏而后蛰者毕。今火犹西流,司历过也。」

求十二年闰月法:

置章岁十九。以闰余十四减之,不尽五。以岁中十二乘之,得六十。以章闰七除之,得八。命从正月起算外,即在八月下。

甄鸾按:周十二月,夏之十月也。哀公十二年,闰在夏八月下。当时实是夏之九月,而失以闰月为九月,以九月为十月。故书「冬十有二月螽」也。

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